科赫雪花是一种分形，它以等边三角形开始，然后用形成等边凸起的一对线段替换每个线段的中间三分之一。有限细分规则——使用递归拓扑算法来细分块，类似于细胞分裂的过程。 L-系统还被用来模拟各种生物体的形态，并可用于生成自相似的分形。

例如，分形维数非常接近1（例如1.10）的曲线的行为非常像普通的直线，但分形维数为1.9 的曲线在空间中蜿蜒，非常像曲面。 Mandelbrot 讨论的分形维数的最早根源可以清楚地追溯到不可微、无限自相似函数的工作，这在分形的数学定义中很重要，大约在1600 年代中期微积分被发现的时候。

1、分形动画

为此，将天线的形状做成分形是一个好主意，因为这可以使天线在同一面积约束内变得很长，而且还可以替代多个天线并同时工作在几个不同的频率范围。两个著名的分形以他的名字命名：谢尔宾斯基三角形和谢尔宾斯基地毯；此外，谢尔宾斯基数和谢尔宾斯基问题也以他的名字命名。尽管自本书第一版（法文）以来，分形的理论和应用发展极其迅速，并且出现了大量相关著作，但这本书仍然是分形理论最好的入门书籍之一。

2、分形图案

准自相似性：在不同尺度上近似相同的模式；可能包含整个分形的扭曲和简并形式的小副本；例如，Mandelbrot 集合的卫星是整个集合的近似值，但不是精确的副本；后来，曼德尔布罗特将分形的概念从理论分形维数扩展到自然界中的几何图形。分形几何属于测度论数学的一个分支。

3、分形几何学

许多现实世界的现象表现出有限或统计的分形特性和分形维数，这些特性和分形维数是使用基于计算机的分形分析技术根据采样数据估计的。在数学中，自相似物体与其自身的一部分完全或近似相似（即整体与其一个或多个部分具有相同的形状）。为了描述这些系统，可以方便地讨论分形维数的分布，并最终讨论分形维数的时间演化：一个由聚合和合并之间复杂的相互作用驱动的过程。

这是因为分形的复杂性，如海岸线、科赫曲线、谢尔宾斯基海绵等，无法用维度等于1、2、3的数值来描述。这就产生了一个新的概念：分形维数，通常大于分形的拓扑维数。他观察到，你周围看到的大多数粗糙形状的正确理想化不是平滑的理想化形状，而是分形理想化形状：